Wang Haihua
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时间序列的 $m$ 步预报, 是根据 $\left\{X_{k}, X_{k-1}, \cdots\right\}$ 的取值对末来 $k+m$ 时刻的随 机变量 $X_{k+m}(m>0)$ 做出估计。估计量记作 $\hat{X}_{k}(m)$, 它是 $X_{k}, X_{k-1}, \cdots$ 的线性组 合。
$\operatorname{AR}(p)$ 序列的预报递推公式 $$ \left\{\begin{array}{l} \hat{X}_{k}(1)=\phi_{1} X_{k}+\phi_{2} X_{k-1}+\cdots+\phi_{p} X_{k-p+1}, \\ \hat{X}_{k}(2)=\phi_{1} \hat{X}_{k}(1)+\phi_{2} X_{k}+\cdots+\phi_{p} X_{k-p+2}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \hat{X}_{k}(p)=\phi_{1} \hat{X}_{k}(p-1)+\phi_{2} \hat{X}_{k}(p-2)+\cdots+\phi_{p-1} \hat{X}_{k}(1)+\phi_{p} X_{k}, \\ \hat{X}_{k}(m)=\phi_{1} \hat{X}_{k}(m-1)+\phi_{2} \hat{X}_{k}(m-2)+\cdots+\phi_{p} \hat{X}_{k}(m-p), m>p . \end{array}\right. $$ 由此可见, $\hat{X}_{k}(m)(m \geq 1)$ 仅仅依赖于 $X_{t}$ 的 $k$ 时刻以前的 $p$ 个时刻的值 $X_{k}, X_{k-1}, \cdots, X_{k-p+1}$ 。这是 $\operatorname{AR}(p)$ 序列预报的特点。
关于MA(q)序列 $\left\{X_{t}, t=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right\}$ 的预报，有 $$ \hat{X}_{k}(m)=0, \quad m>q . $$ 因此，只需要讨论 $\hat{X}_{k}(m), m=1,2, \cdots, q$ 。为此，定义预报向量 $$ \hat{X}_{k}^{(q)}=\left[\hat{X}_{k}(1), \hat{X}_{k}(2), \cdots, \hat{X}_{k}(q)\right]^{T}, $$
所谓递推预报是求 $\hat{X}_{k}^{(q)}$ 与 $\hat{X}_{k+1}^{(q)}$ 的递推关系, 对 MA(q)序列, 有 $$ \begin{aligned} &\hat{X}_{k+1}(1)=\theta_{1} \hat{X}_{k}(1)+\hat{X}_{k}(2)-\theta_{1} X_{k+1}, \\ &\hat{X}_{k+1}(2)=\theta_{2} \hat{X}_{k}(1)+\hat{X}_{k}(3)-\theta_{2} X_{k+1}, \\ &\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ &\hat{X}_{k+1}(q-1)=\theta_{q-1} \hat{X}_{k}(1)+\hat{X}_{k}(q)-\theta_{q-1} X_{k+1}, \\ &\hat{X}_{k+1}(q)=\theta_{q} \hat{X}_{k}(1)-\theta_{q} X_{k+1} . \end{aligned} $$
从而得 $$ \hat{X}_{k+1}^{(q)}=\left[\begin{array}{ccccc} \theta_{1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \theta_{2} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \theta_{q-1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \theta_{q} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \hat{X}_{k}^{(q)}-\left[\begin{array}{c} \theta_{1} \\ \theta_{2} \\ \vdots \\ \theta_{q} \end{array}\right] X_{k+1} \cdot $$ 递推初值可取 $\hat{X}_{k_{0}}^{(q)}=0$ ( $k_{0}$ 较小)。因为模型的可逆性保证了递推式渐近稳定, 即当 $n$ 充分大后，初始误差的影响可以逐渐消失。
对于ARMA $(p, q)$ 序列, $$ \hat{X}_{k}(m)=\phi_{1} \hat{X}_{k}(m-1)+\phi_{2} \hat{X}_{k}(m-2)+\cdots+\phi_{p} \hat{X}_{k}(m-p), m>p . $$ 因此, 只需要知道 $\hat{X}_{k}(1), \hat{X}_{k}(2), \cdots, \hat{X}_{k}(p)$, 就可以递推算得 $\hat{X}_{k}(m), m>p$ 。 仍定义预报向量 (18.25)。令 $$ \phi_{j}^{*}= \begin{cases}\phi_{j}, & j=1,2, \cdots, p, \\ 0, & j>p .\end{cases} $$
可证下列递推预报公式 $$ \hat{\boldsymbol{X}}_{k+1}^{(q)}=\left[\begin{array}{ccccc} -\boldsymbol{G}_{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \cdots & 0 \\ -\boldsymbol{G}_{2} & \mathbf{0} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -\boldsymbol{G}_{q-1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -\boldsymbol{G}_{q}+\phi_{q}^{*} & \phi_{q-1}^{*} & \phi_{q-2}^{*} & \cdots & \phi_{1}^{*} \end{array}\right] \hat{\boldsymbol{X}}_{k}^{(q)}+\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{G}_{1} \\ \boldsymbol{G}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{G}_{q-1} \\ \boldsymbol{G}_{q} \end{array}\right] \boldsymbol{X}_{k+1}+\left[\begin{array}{c} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \vdots \\ \mathbf{0} \\ \sum_{j=q+1}^{p} \phi_{j}^{*} \boldsymbol{X}_{k+q+1-j} \end{array}\right], $$
这里 $G_{j}$ 满足 $X_{t}=\sum_{j=0}^{\infty} G_{j} \varepsilon_{t-j}$, 式 中第三项当 $p \leq q$ 时为零。
由可逆性条件保证, 当 $k_{0}$ 较小时, 可令初值 $\hat{X}_{k_{0}}^{(q)}=0$ 。 在实际中, 模型参数是末知的。若已建立了时间序列的模型, 则理论模 型中的末知参数用其估计替代，再用上面介绍的方法进行预报。